Kit Yates Ne hidd el az igazságot! – Miért (szinte) minden matematika? (részlet)
EXPONENCIÁLIS GONDOLKODÁS
Az exponenciális viselkedés bámulatos ereje és kijózanító korlátai
Darren Caddick egy dél-walesi kisvárosban dolgozik gépjárművezető-oktatóként. 2009-ben kecsegtető ajánlatot kapott egy barátjától. Ha befizet 3000 fontot egy helyi befektetési társaságnak, és beszervez két embert, akik ugyanezt megteszik, néhány héten belül 23 000 fontot fog visszakapni. Caddick először azt gondolta, ez túl szép, hogy igaz legyen, és ellenállt a kísértésnek. Végül azonban a barátai meggyőzték, hogy – a saját szavaival élve – „senki sem fog veszíteni, mert a lánc egyre csak folytatódik, a végtelenségig”. Így aztán elhatározta, hogy beszáll a játékba. Mindenét elvesztette, és tíz év elteltével is együtt kell élnie döntésének következményeivel.
Caddick a tudtán kívül egy pilótajáték alsó szintjén találta magát, ami azonban nem „folytatódhatott a végtelenségig”. Az Adok-kapok elnevezésű játék 2008-ban indult el, de mivel az új befektetők hamar elfogytak, nem egészen egy év alatt összeomlott, ám ez idő alatt 21 millió fontot húzott ki több mint tízezer befizető zsebéből, szerte az Egyesült Királyságban. A befektetők 90%-a elveszítette a befizetett 3000 fontját. Azok a befektetési rendszerek, amelyekben a befektetőknek több új befizetőt kell beszervezniük ahhoz, hogy hozzájussanak a nekik járó kifizetéshez, bukásra vannak ítélve. A szükséges új befizetők száma minden szinten a rendszerben részt vevő emberek számával arányosan növekszik. Tizenöt forduló után több mint tízezer embert fognak beszervezni egy ilyen típusú pilótajátékba. Bár ez nagy számnak tűnik, az Adok-kapok rendszer mégis könnyedén elérte. Azonban újabb tizenöt kör után már a Föld minden hetedik lakójának befizetővé kellene válni ahhoz, hogy a játék tovább folytatódjon. Az a jelenség, amely elkerülhetetlenül oda vezetett, hogy egy idő után nem tudtak új embereket beszervezni, és végül összeomlott a rendszer, az úgynevezett exponenciális növekedés.
Késő bánat ebgondolat
Exponenciálisan növekedő mennyiségről akkor beszélünk, ha a növekedés mértéke arányos a mennyiség nagyságával. Képzeljük el, hogy reggel kinyitunk egy tejesüveget, amibe valami úton-módon belekerül a Streptococcus faecalis baktérium egyetlen sejtje, mielőtt visszazárnánk. A Streptococcus faecalis az egyik olyan baktérium, amitől a tej megsavanyodik és összecsomósodik. De hát egyetlen apró sejt nem nagy dolog, igaz? Talán aggasztóbb, ha megtudjuk, hogy a tejben a Strep. f.-sejtek az osztódás során minden órában két utódsejtet hoznak létre. A sejtek száma minden egyes generációban a sejtek aktuális
számával arányosan nő, tehát a mennyiségük exponenciálisan növekszik. Az exponenciálisan növekvő mennyiség emelkedését bemutató görbe a görkorcsolyázók, gördeszkások és BMX-esek által használt negyedcsőrámpára emlékeztet. Eleinte nagyon kicsi a rámpa meredeksége – a görbe igen lapos, és csak fokozatosan kezd emelkedni (ahogy az a 2. ábra első görbéjén látható).
Két óra múlva négy darab Strep. f.-sejt van a tejben, négy óra múlva még mindig csak tizenhat darab, ami nem tűnik túl nagy problémának. Azonban a negyedcsőrámpához hasonlóan az exponenciális görbe magassága és meredeksége gyorsan növekszik. Az exponenciálisan növekvő mennyiségek kezdetben látszólag lassan nőnek, de ez a növekedés váratlanul felgyorsulhat. Ha a tejet 48 órán át nem bolygatjuk, a Strep. f.-sejtek exponenciális növekedése folytatódik, és mire újra tejet öntenénk a müzlinkre, már több száz billió sejt lesz benne – ennyitől a vér is megalszik az ereinkben, nemhogy a tej az üvegben. E pillanatban negyvenezerszer annyi sejt lenne a tejben, mint ahány ember él a bolygónkon. Az exponenciális görbét „J alakúnak” is szokták nevezni, mivel egy meredeken felfelé kanyarodó nagy J betűre emlékeztet. Természetesen ahogy a baktériumok elfogyasztják a tejben lévő tápanyagokat, és megváltozik a tej pH-értéke, a növekedés feltételei kedvezőtlenebbé válnak, ezért az exponenciális növekedés csak viszonylag rövid ideig folytatódik. Valós körülmények között az exponenciális növekedés hosszú távon nem tartható fenn, sőt kórossá válhat, mivel ami így növekszik, az felemészti az erőforrásokat, ezáltal életképtelen lesz. Például a rák tipikus jellemzője, hogy az emberi szervezetben tartósan exponenciálisan szaporodnak a sejtek.
Az exponenciális görbe másik példája a szabadesésű vízi csúszda, amely azért kapta a nevét, mert az eleje olyan meredek, hogy a szabadesés élményét tapasztalhatjuk meg rajta. Amikor lezuhanunk a csúszdán, nem exponenciális növekedési görbén, hanem exponenciális fogyási görbén siklunk végig (erre a görbére példa a 2. ábra jobb oldali grafikonja). Az exponenciális fogyás azt jelenti, hogy egy mennyiség csökkenése arányos a mennyiség pillanatnyi nagyságával. Képzeljük el, hogy kinyitunk egy óriási M&M’s-zacskót, a tartalmát kiborítjuk az asztalra, és megeszünk minden drazsét, ami a feliratos oldalával felfelé esett az asztalra. A maradékot visszaöntjük a zacskóba, és eltesszük másnapra. Másnap jól megrázzuk a zacskót, és kiszórjuk a drazsét. Ismét azokat a cukorkákat esszük meg, amelyeken az M betűt látjuk, a többit pedig visszatesszük a zacskóba. Ahányszor csak kiborítjuk az édességet a zacskóból, a megmaradt szemeknek durván a felét esszük meg, függetlenül attól, hogy mekkora volt az eredeti mennyiség. A drazsék száma a zacskóban maradt szemek számával arányosan csökken, azaz exponenciálisan fogy. Ugyanígy a vízi csúszda is nagyon magasról, szinte függőlegesen indul, és lecsúszás közben nagyon hirtelen csökken a magassága. Ha sok drazsénk van, sokat ehetünk meg belőle. Ám a görbe fokozatosan veszít a meredekségéből, és a végén majdnem vízszintessé simul ki: minél kevesebb drazsénk marad, annál kevesebbet ehetünk meg a következő napon. Habár az egyes drazsék véletlenszerűen és megjósolhatatlanul esnek a feliratos vagy a sima oldalukra, az exponenciális fogyás kiszámítható „vízicsúszda- görbéje” fedezhető fel a megmaradt drazsék számának csökkenésében.
Ebben a fejezetben megvizsgáljuk az exponenciális viselkedés és a hétköznapi jelenségek közti rejtett kapcsolatot: hogy hogyan terjed egy betegség a lakosság körében vagy egy mém az interneten; hogy milyen gyorsan növekszik az embrió és milyen lassan gyarapszik a pénz a bankszámlánkon; hogy hogyan érzékeljük az idő múlását és mitől robban fel az atombomba. Menet közben az Adok-kapok piramisjáték tragédiájának is a mélyére ásunk. Azoknak az embereknek a példáján tanuljuk meg, milyen fontos az exponenciális gondolkodás, akiknek kicsalták és végérvényesen lenyúlták a pénzét. Mindez segítségünkre lehet abban, hogy ne érjenek minket váratlanul a mai világban szédületes tempóban végbemenő változások.
Egy igen fontos dolog
Azon ritka alkalmakkor, amikor pénzt teszek be a bankba, az a tény nyugtat meg, hogy bármilyen kis összeg legyen is a számlámon, az mindig exponenciálisan növekszik. A bankszámla olyan hely, ahol valóban nincs korlátja az exponenciális növekedésnek – legalábbis papíron. Amennyiben kamatos kamatról van szó (azaz a kamat hozzáadódik az induló összeghez, és maga is kamatozik), akkor a bankszámlán lévő teljes összeg növekedése az aktuális pénzösszeg nagyságával arányos– ez pedig az exponenciális növekedés ismérve. Ahogy Benjamin Franklin mondta: „Az a pénz, amit a pénz fial, még több pénzt fog fialni.” Ha elég sokáig tudnánk várni, még a legkisebb befektetés is egész vagyonná duzzadna. De azért még ne zároljuk a vésztartalékainkat! Ha évi 1%-os kamatra kötünk le 100 fontot, több mint 900 évbe telik, mire milliomos lesz belőlünk. Igaz ugyan, hogy az exponenciális növekedést gyakran a gyors gyarapodással kapcsolják össze, de ha a növekedés üteme és az induló befektetés kicsi, akkor nagyon lassúnak tűnik a növekedés.
Az érem másik oldala, hogy a hitelkártyán az adósságunk is exponenciálisan növekedhet, mert fix (és gyakran igen magas) kamatot számolnak fel a kint levő összeg után. A jelzáloghitelekhez hasonlóan minél előbb fizetjük vissza a hitelkártyán felhalmozott adósságunkat és minél többet törlesztünk az elején, összességében annál kevesebb pénzt kell visszafizetnünk, hiszen az exponenciális növekedés nem tud felgyorsulni.
Fordította: Tóth Enikő
Kit Yates neves matematikus és biológus - egyike a biomatematika nevű tudományág azon kevés számú kutatójának, aki sikeresen képes népszerűsíteni szakterületét.
Gondolkodásra serkentő könyvében Yates sorsfordító események igaz történetét meséli el, amelyekben a matematika helyes vagy helytelen alkalmazása kulcsszerepet játszott: betegek rokkantak meg hibás gének miatt és vállalkozók mentek csődbe helytelen algoritmusok eredményeképp; ártatlanok estek áldozatul bírói tévedéseknek és mit sem sejtő felhasználók szenvedték meg a számítógépes hibákat.
Vegyük észre: körülvesz minket a matematika, használjuk hát okosan, hangsúlyozza Yates, aki szerint a matek jelenti a legnagyobb reménységünket arra is, hogy egyszer majd megfejtjük a világegyetem rejtélyeit és az emberi faj titkait.
A terjedőben levő oltásellenes mozgalom veszélyeinek ismertetésétől a világjárványok elleni küzdelemig a matematika képezi az alapját azoknak a döntő jelentőségű, életmentő beavatkozásoknak, amelyek lehetővé teszik, hogy a betegségeket eltöröljük a Föld színéről.
Kit Yates a Bath-i Egyetem biomatematikusa; matematikai összefüggéseket kutat a világ legkülönfélébb megnyilvánulásai mögött. Tudományos értekezésekben foglalja össze egyes jelenségek ismétlődő mintázatát embriók kórtanától a tojáshéj mintáján át a pusztító sáskajárásokig - a matematika szigorú törvényei alapján.
Kit Yates: Ne hidd el az igazságot! - Miért (szinte) minden matematika?, Fordította Tóth Enikő, Athenaeum Kiadó, 2020